Description de la tablette Plimpton 322

Pour commencer, la tablette est un objet d’argile (voir photo figure 1 [1]). La face contient un tableau de nombres, le revers est anépigraphe (pas de trace d’écriture cunéiforme) mais contient des traces de traits de colonne. Le profil des tranches supérieure et inférieure montre que la partie gauche de la tablette, soit environ un tiers du document original, est manquante.

Figure 1 : la tablette Plimpton 322 (photo de l’auteur, courtoisie Jane Spiegel, conservatrice de la bibliothèque « Rare Book and Manuscript Library », Université Columbia, New York)

La tablette a été achetée en 1922 ou 1923 par le collectionneur George Plimpton à l’antiquaire Edgar Banks. On ne connait pas le contexte archéologique précis de sa découverte. Ses caractéristiques épigraphiques et orthographiques font penser qu’il s’agit probablement d’une tablette écrite pendant la période paléo-babylonienne (2000-1600 avant notre ère) en Mésopotamie du sud, peut-être à Larsa (voir la carte fournie dans l’article Mathématiques en Mésopotamie), ce qui correspond aux informations qui avaient été fournies par E. Banks à son client.

En raison de sa célébrité, la tablette Plimpton 322 est parfois perçue comme une sorte d’archétype des mathématiques cunéiformes. Cependant, il s’agit d’un texte atypique à bien des égards. Tout d’abord, son aspect est inhabituel pour cette période : c’est un large fragment (largeur 12,7 cm ; hauteur 8,8 cm ; épaisseur maximale : 3,2 cm) d’une grande tablette écrite en orientation paysage. Son format en tableau à double entrée, avec en-tête de colonne et numérotation des lignes, est unique parmi les textes mathématiques paléo-babyloniens connus [2]. La face de la tablette contient des colonnes de nombres sexagésimaux positionnels de très grande taille (jusqu’à 9 positions sexagésimales) [3]). Les « zéros » médians sont représentés par des espaces vides. Ces propriétés (grands nombres et espaces médians) sont assez rarement observées dans les textes paléo-babyloniens.

Voici une traduction du texte (tableau 1).

Tableau 1 : traduction de la tablette Plimpton 322 (face)

Notes sur le tableau 1 : la ligne supérieure contenant la numérotation des colonnes et la colonne de droite contenant les corrections sont des ajouts de l’auteur. Les colonnes encore visibles sur la tablette sont numérotées ici I’, II’, III’, et IV’ et non I, II, III, etc. pour distinguer les colonnes visibles des colonnes qui avaient effectivement été notées à l’origine, dont les premières sont perdues. L’astérisque * signale un chiffre sexagésimal qui semble erroné ; les nombres attendus sont indiqués dans la colonne ajoutée à droite. Les parties entre crochets sont des reconstitutions ; elles sont détruites sur l’original.

La compréhension et l’interprétation de ce texte ont soulevé de nombreuses questions, par exemple : que contenaient les premières colonnes aujourd’hui perdues ? Que devait contenir le revers, resté inachevé ? Les nombres qui se succèdent dans une ligne donnée sont-il le résultat d’une procédure systématiquement appliquée à chaque entrée, et si oui, quelle est cette procédure ? Les entrées de la première colonne, aujourd’hui disparue, ont-elles été engendrées par une procédure systématique, et si oui, quelle est cette procédure ? Quel était le but de ce texte ? Des réponses à ces questions sont aujourd’hui possibles grâce aux avancées réalisées par les nombreux auteurs qui ont étudié ce texte, les plus significatives étant celles de Derek J. de Solla Price sur la génération des nombres de la première colonne, d’Eleanor Robson sur la lecture des en-têtes, et de Jöran Friberg sur l’identification de l’algorithme qui a produit chaque ligne [4]. Cet article essaie d’esquisser ces réponses en renvoyant à une bibliographie spécialisée pour plus de détails sur les calculs et sur les différents points de vue des auteurs qui ont étudié la tablette.

Les en-têtes

L’en-tête de la première colonne nous indique que celle-ci contient des nombres qui représentent « Le carré de la diagonale, duquel 1 est soustrait, et dont la largeur est issue » [5]. On reconnaît, de façon à peine voilée, l’énoncé familier : le carré de la diagonale moins le carré de la longueur (ici 1) est égal au carré de la largeur. Le texte concerne donc des rectangles qui ont la particularité d’avoir des dimensions (longueur, largeur et diagonale) exprimées par des nombres sexagésimaux, c’est-à-dire des nombres qui peuvent s’écrire avec un nombre fini de chiffres en base 60. Appelons ces rectangles des « rectangles sexagésimaux ». Les dimensions des rectangles sexagésimaux vérifient ce que nous appelons la « propriété de Pythagore », désignée ici par la « règle de la diagonale » pour éviter un anachronisme grossier, puisque Plimpton 322 devance Pythagore de plus de 1000 ans.

La tablette Plimpton 322 témoigne-t-elle d’une recherche systématique des rectangles sexagésimaux [6] ? C’est la thèse défendue dans l’article Britton, Proust, and Shnider 2011, et développée ici. Cependant, ce point de vue, qui est proche de celui de Neugebauer et Sachs dans leur édition du texte, n’est pas partagé par tous. Par exemple, une approche tout à fait différente est celle d’Eleanor Robson, qui considère ce texte comme une sorte de base de données pour la fabrication des exercices scolaires (Robson 2001).

Les nombres

Une des difficultés, pour le lecteur moderne, est d’appréhender la nature des nombres écrits sur la tablette, et, d’une façon plus générale, dans les textes mathématiques cunéiformes. En effet, l’écriture des nombres en notation sexagésimale positionnelle ne permet pas de savoir quel est leur ordre de grandeur, ce sont des nombres sexagésimaux « flottants », ni entiers, ni fractionnaires.

Dans Plimpton 322, aucune unité de mesure n’est précisée. Pourtant, dans la mesure où des additions et des soustractions interviennent dans les calculs, il est nécessaire, au moins ponctuellement, de repérer la position des chiffres sexagésimaux les uns par rapport aux autres. Pour cette raison, les auteurs qui ont étudié cette tablette ont restitué les ordres de grandeur en introduisant des marques supplémentaires par rapport à ce que montrent les textes cunéiformes. Par exemple, le nombre 1.48.54.1.40 (colonne I’, ligne 5) est « traduit » par ces auteurs 1 ;48.54.1.40, la marque «  ; » indiquant que le premier chiffre (1) est celui des unités, le deuxième (48) celui des soixantièmes, le troisième (54) celui des soixantièmes de soixantièmes, etc. De telles marques ne sont pas utilisées ici ; si besoin, les nombres sont simplement placés les uns sous les autres, comme sur un instrument de calcul (un abaque à jetons était du reste très probablement utilisé par les calculateurs anciens). Le lecteur troublé pourra se rassurer en interprétant le premier chiffre des nombres de la colonne I’ de Plimpton 322 comme celui des unités.

Que représentent les nombres ?

Prenons un exemple, celui de la ligne 5 qui est bien conservée. Dans la colonne I’, ligne 5, on lit : 1.48.54.1.40. Calculons (par exemple, grâce à la calculatrice sexagésimale en ligne MesoCalc de Baptiste Mélès) la racine carrée de 1.48.54.1.40. Nous trouvons la valeur exacte 1.20.50. Retranchons 1 de 1.48.54.1.40, comme le prescrit l’en-tête. Nous trouvons 48.54.1.40 (il n’est pas précisé, mais implicite, que le chiffre 1 à soustraire occupe la position sexagésimale la plus à gauche). Calculons la racine carrée de 48.54.1.40, nous trouvons 54.10.

Le nombre 1.48.54.1.40 est donc un carré (celui de 1.20.50), et si le 1 initial (qui est le carré de 1) lui est retranché, on obtient encore un carré (celui de 54.10). Le nombre 1.48.54.1.40 fournit donc à lui tout seul ce que nous appelons aujourd’hui un triplet pythagoricien.

D’un point de vue numérique, la situation peut se résumer de la façon suivante :

Situation qui peut être représentée de façon géométrique par le diagramme suivant :

Figure 2 : le rectangle sexagésimal unitaire de la ligne 5

Il en est de même pour tous les nombres de la colonne I’. J’appellerai dans la suite « rectangles sexagésimaux unitaires » les rectangles sexagésimaux représentés dans la colonne I’, qui ont tous une longueur de 1. Comment les nombres de la colonne I’, qui possèdent une propriété aussi remarquable, ont-ils été fabriqués ? Cette question est traitée dans la section suivante.

Si nous considérons maintenant les autres nombres écrits dans la ligne 5, dans les colonnes intitulées « la largeur » (II’) et « la diagonale » (III’ ), nous ne trouvons pas la largeur (54.10) et la diagonale (1.20.50) correspondant au rectangle sexagésimal unitaire représenté dans la colonne I’, comme on pourrait s’y attendre, mais la largeur 1.5 et la diagonale 1.37. De quel rectangle s’agit-il ? Il est facile de voir que le rectangle de largeur 1.5 et de diagonale 1.37 est obtenu en divisant les dimensions du rectangle unitaire par 50 (en utilisant l’outil « décomposition en facteurs premiers » de MesoCalc, on trouve les relations 54.10 = 1.5 × 50 et 1.20.50 = 1.37 × 50).

Cette relation de similitude peut être représentée par la figure 3.

Figure 3 : Les rectangles semblables de la ligne 5

Les colonnes II’ et III’ donnent donc les dimensions d’un rectangle semblable au rectangle unitaire. Ce rectangle réduit, dont les dimensions ne contiennent pas de facteur sexagésimal régulier [7] commun, a probablement été obtenu par une méthode de factorisation similaire à celle qu’on trouve dans beaucoup d’exercices scolaires de l’époque paléo-babylonienne (voir Britton, Proust, and Shnider 2011, p. 536-560, en particulier l’analyse des erreurs, et voir l’article à paraître dans Image des Mathématiques sur l’algorithme de factorisation).

La tablette Plimpton 322 contient ainsi une liste de rectangles sexagésimaux unitaires (colonne I’), et la liste des rectangles réduits correspondants (colonnes II’ et III’). Noter que dans chaque ligne, les rectangles réduits sont définis par des paires de nombres (largeur et diagonale), ce qui suffit en effet à définir complètement les rectangles, et non par des triplets. Ce détail est important, car il montre que les scribes anciens considéraient comme objets d’étude les rectangles sexagésimaux, et non pas les triplets pythagoriciens. La démarche est géométrique, pas seulement arithmétique. Noter également que tous les rectangles de la colonne I’ sont unitaires, ce qui garantit qu’ils sont non semblables deux à deux (en termes modernes, les triplets pythagoriciens correspondants sont indépendants).

Fabriquer un rectangle sexagésimal

Comment les nombres de la colonne I’, aux propriétés apparemment miraculeuses, ont-ils été fabriqués ? Cette question a fait l’objet de controverses jusqu’à la publication par Jöran Friberg des tablettes mathématiques de la collection Schøyen, l’une d’entre elles présentant de fortes parentés avec Plimpton 322 (Friberg 2007, Appendix 8).

Le problème 3 de la tablette MS 3971, d’époque paléo-babylonienne et d’origine inconnue (probablement Uruk d’après Friberg), est particulièrement éclairant (Friberg 2007, 252-4). Le problème est introduit par : « Pour que tu voies 5 diagonales ». Ensuite on trouve cinq sections, chacune contenant la construction d’un rectangle sexagésimal unitaire. Le problème se conclut par : « (Ce sont les) 5 diagonales ». Le lien avec la colonne I’ de Plimpton 322 est clair : dans les deux cas, il s’agit de construire des rectangles sexagésimaux unitaires, décrits par la formule de l’en-tête dans le cas de Plimpton 322, et par le terme « diagonale » dans le cas de la tablette de la collection Schøyen. Les rectangles obtenus sont numérotés de la même façon « n°1, n°2, … ». Dans le problème 3 de la tablette MS 3971, la procédure est expliquée en détail.

Voici une traduction en français personnelle du problème 3 de la tablette MS 3971 d’après la translittération et la traduction anglaise de Friberg (2007, p. 248) et d’après la photo de la tablette.

Dans les cinq cas, la procédure est basée sur la donnée initiale d’une paire d’inverses. Le rôle clé des paires d’inverses dans la construction de la table de Plimpton 322 avait été envisagé dès 1957 par Evert Bruins (Bruins 1957), et la tablette de la collection Schøyen confirme cette intuition.

Examinons de plus près la procédure utilisée, par exemple dans le cas n°2 (section 3b selon la numérotation de Friberg), en représentant les différentes étapes par des figures selon la méthode qui a été élaborée par Jens Høyrup [8] (dans les figures ci-dessous, les nombres encerclés représentent des surfaces).

Table 2 : interprétation géométrique de la deuxième procédure de MS 3971, problème 3

Ligne 1 : 1.40 est le nombre (igi), 36 est son inverse (igibi)		La paire d’inverses choisie pour démarrer la procédure est 36 et 1.40, soit les côtés d’un rectangle d’aire 1.
Lignes 2-3 : 40 et 36 [additionne, 2.16 cela donne]. ½ de 2.16 coupe, [1.8 cela donne]		Ces instructions correspondent à la construction d’un gnomon d’aire égale à celle du rectangle initial (d’aire 1).
Lignes 4-7 : 1.8 croise (multiplie) avec lui-même, [1.17.4 cela donne]. 1 de 1.17.4 soustrais, 17.4 cela donne. 17.4 a 32 pour côté (racine carrée). 32, la largeur, cela donne		On reconnaît la méthode de complétion du carré utilisée dans les textes mathématiques cunéiformes de cette époque pour la résolution des problèmes quadratiques.

D’un point de vue numérique, la procédure prescrit les calculs suivants (présentés ci-dessous sous forme de nombres disposés comme sur un abaque) :

La procédure est très proche de celle qui est utilisée dans d’autres textes de la même époque pour résoudre des problèmes quadratiques. Mais ici, pourquoi le nombre 32 trouvé est-il la largeur cherchée ? La procédure, partant d’une paire d’inverse, a produit un nombre, 1.8, dont le carré, 1.17.4, possède les propriétés cherchées : si on lui enlève 1, le nombre obtenu 17.4 est un carré, celui de 32. Le nombre 1.17.4 répond donc au descriptif de l’en-tête de la colonne I’ de Plimpton 322. Autrement dit, 1.8 est la diagonale d’un rectangle, 1 est sa longueur, et 32 sa largeur.

Appliquons la procédure à la paire d’inverses (2.15 et 26.40)

Nous trouvons le nombre 1.48.54.1.40 de la ligne 5, colonne I’, examiné ci-dessus.
Toutes les lignes de Plimpton 322 semblent engendrées de la même manière à partir d’une paire d’inverses génératrice, par une procédure qui consiste à calculer la demi-somme d’un nombre et de son inverse. Une des questions soulevées en introduction est : « Les nombres qui se succèdent dans une ligne donnée sont-il le résultat d’une procédure systématiquement appliquée à chaque entrée, et si oui, quelle est cette procédure ? » On peut répondre que c’est le cas, et que cette procédure est probablement celle qui est décrite dans le problème 3 de la tablette MS 3971. Les colonnes manquantes de Plimpton 322 devaient contenir soit les paires d’inverses génératrices, soit la largeur et la diagonale des rectangles obtenus.

La question qui se pose maintenant est de savoir comment ont été sélectionnées les paires d’inverses génératrices : ont-elles été choisies au hasard ? Résultent-elles d’un procédé de sélection systématique ? Cette liste est-elle complète (selon des critères à définir) ?

La liste des paires d’inverses utilisées pour construire les rectangles sexagésimaux de Plimpton 322

L’identification de la liste de paires d’inverses à partir de laquelle a pu être construite la table de Plimpton 322 est due à l’informaticien et historien des sciences Derek J. de Solla Price (Price 1964). C’est lui qui, de plus, a observé que les traits verticaux qui séparent les colonnes de la face continuent sur le revers, et qui en a conclu que les lignes de la table inscrite sur la face de Plimpton 322 étaient probablement les 15 premières lignes d’une table plus grande, qui était prévue pour couvrir également la tranche inférieure et le revers de la tablette. Pour Price, qui sur ce point suivait Neugebauer, l’algorithme devait produire la diagonale $\delta$ et la largeur $\beta$ des rectangles de la colonne I’ à partir de nombres générateurs ${s}$ et ${r}$ :

$~~~~\delta = \frac{1}{2} (\frac{r}{s} + \frac{s}{r})~~~~\beta = \frac{1}{2} (\frac{r}{s} - \frac{s}{r} )$

De plus, Price est parti de l’hypothèse que les largeurs des rectangles étaient inférieures à 1 (il raisonnait en notation absolue, et non flottante), et que les nombres générateurs s et r appartenaient au répertoire usuel de l’époque. En vertu de quoi, il a établi les conditions suivantes :

$~~~~1< \frac{r}{s} <1+\sqrt{2} (<2;25)$
$~~~~r$ est un nombre sexagésimal régulier
$~~~~s$ est un nombre sexagésimal régulier à une position
$~~~\frac{r}{s}$ est une fraction irréductible .

Price a trouvé 38 paires (r, s) répondant à ces conditions, les 15 premières d’entre elles produisant précisément les 15 lignes existantes de Plimpton 322. Les 23 paires restantes pouvaient produire 23 autres lignes, qui pouvaient occuper justement l’espace disponible sur la tranche inférieure et le revers de la tablette. Ce résultat fournissait dès 1964 un argument puissant en faveur de l’hypothèse que la tablette Plimpton 322 résultait d’une recherche systématique de la liste complète des solutions à un problème indéterminé. De plus, il offrait la possibilité de reconstruire la fin de la table inachevée.

Cependant, le raisonnement de Price repose sur des concepts modernes, comme ceux de fraction irréductible ou d’inégalité, qui sont étrangers aux traditions mathématiques paléo-babyloniennes. Avec quels outils les scribes de l’époque de Plimpton 322 auraient-ils pu travailler, et éventuellement trouver la liste établie par Price ? On connait les notions de base enseignées aux scribes dans les écoles paléo-babyloniennes grâce aux milliers de tablettes scolaires qui ont été exhumées en Irak, en Syrie et en Iran. Ces exercices montrent que les scribes étaient entraînés dès leurs premiers apprentissages à travailler sur des listes et des tables, notamment des tables d’inverses.

L’auteur du présent article a montré dans un article récent (Proust 2011) que la liste des paires d’inverses génératrices des « diagonales » de la colonne I’ de Plimpton 322 peut être produite par les opérations suivantes, en notation flottante : sélectionner les nombres sexagésimaux réguliers à une ou deux positions jusqu’à 2.5 (c’est la liste des nombres les plus utilisés dans les pratiques scolaires) ; diviser ces nombres par tous les nombres sexagésimaux réguliers à une position ; éliminer les doublons ; ordonner selon l’ordre lexicographique croissant ; sélectionner toutes les valeurs jusqu’à 2.25. On obtient la liste des 38 nombres r/s de Price. Les nombres « générateurs » de cette liste ne sont pas les paires (r, s) de Price, mais une liste de paires d’inverses. Ainsi, en n’utilisant que des méthodes bien connues des anciens scribes, on obtient les 15 entrées de Plimpton 322, ainsi que les 23 entrées supplémentaires que le ou les auteurs de Plimpton 322 avaient probablement prévu d’inscrire sur la tranche inférieure et le revers de la tablette. A l’appui de cette hypothèse, il est frappant de noter que les cinq exemples du problème 3 de la tablette MS 3971 de la collection Schøyen correspondent respectivement aux entrées n°37, 18, 22, 29, et 32 de la table de Plimpton 322 reconstituée. Cette liste de 38 nombres montre que la reconstruction de la table proposée par Price avec des moyens de calcul modernes est possible avec des moyens de calcul anciens. De plus, cette liste suggère fortement que le ou les auteurs de Plimpton 322 cherchaient une solution complète au problème qui consiste à trouver tous les rectangles sexagésimaux unitaires dans un univers numérique donné. Notons que le cas de Price montre que les calculs modernes peuvent dans certains cas s’avérer productifs même s’ils se présentent sous une forme anachronique.

Quelle est la nature de Plimpton 322 ?

L’interprétation proposée dans cet article suggère que la tablette Plimpton 322 n’est pas une collection de données rassemblées au hasard et destinées à être recueillies pour d’autres usages, par exemple pour l’enseignement, mais un texte de problème. Il s’agirait d’un problème indéterminé, trouver tous les rectangles sexagésimaux unitaires ou « diagonales », et d’une tentative (inachevée) de fournir une solution complète.

Bibliographie

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